Taux d'accroissement

Propriété

On considère une fonction affine \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(f(x)=mx+p\)  ( \(m\) et \(p\) étant deux réels) et deux réels distincts \(x_1\) et \(x_2\) .

Le taux d’accroissement \(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\)  de la fonction \(f\) entre les valeurs  \(x_1\) et \(x_2\)  est égal à \(m\)  ; c’est le coefficient directeur de la droite représentant la fonction \(f\) .

Démonstration

Soit \(f\) définie sur   \(\mathbb{R}\)  par   \(f(x)=mx+p\)  ( \(m\) et \(p\) étant deux réels) et deux réels distincts \(x_1\) et \(x_2\) .

  \(f(x_2)=mx_2+p\)  et    \(f(x_1)=mx_1+p\)

On a donc, \(x_1\) et \(x_2\)  étant différents :  

\(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\dfrac{mx_2+p-(mx_1+p)}{x_2-x_1}=\dfrac{mx_2+p- mx_1-p }{x_2-x_1}\)
  
\(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\dfrac{mx_2 - mx_1 }{x_2-x_1}=\dfrac{m(x_2 - x_1) }{x_2-x_1}=m\)

Remarque

A ( \(x_1;f(x_1)\) ) et B ( \(x_2;f(x_2)\) ) sont deux points de la droite représentant la fonction \(f\) .
\(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\dfrac{y_2 -y_1 }{x_2-x_1}=\dfrac{ \Delta y }{\Delta x}=m\)
L’accroissement des ordonnées  \(y_2 -y_1\) est noté  \(\Delta y\)  et l’accroissement des abscisses  \(x_2-x_1\) est noté  \(\Delta x\) . Ainsi, si   \(x_2-x_1\) = 1, alors  \(y_2 -y_1=m\) et \(m\) peut donc être déterminé graphiquement (voir méthode 2).

Remarque  

Une fonction affine modélise un phénomène continu dont le taux d'accroissement est constant : on parle de croissance linéaire.